Programma (A.A. 2012-2013)

Gli argomenti elencati e trattati nel corso sono, nella maggior parte dei casi, riferiti con lo stesso titolo del paragrafo che li riguarda, nella dispensa Appunti di Calcolo Numerico (Bevilacqua, Bini, Capovani , Menchi) distribuita da SEU fino al 2011.

Gli stessi argomenti sono trattati nella dispensa Appunti di Calcolo Numerico (Bevilacqua, Menchi), disponibile in rete dal settembre 2011

Analisi dell’errore

La generazione degli errori.

Problemi malcondizionati.

Complessità computazionale.

Errore analitico.

Rappresentazione in base di un numero.

Teorema di rappresentazione in base (enunciato).

Conversione di base.

Numeri di macchina.

Rappresentazione di un numero reale con un numero di macchina.

Errori di rappresentazione e loro limitazione.

Operazioni di macchina.

Errore nel calcolo di una funzione razionale.

Errore inerente.

Errore nelle operazioni di macchina.

Cancellazione numerica.

Errore nel calcolo di una funzione non razionale.

Standard IEEE (cenno).

Equazioni non lineari

Metodo di bisezione.

Metodo delle secanti. Condizioni sufficienti per la convergenza.

Metodo delle tangenti. Condizioni sufficienti per la convergenza.

Metodi iterativi (generalità).

Convergenza di un metodo iterativo. Teorema del punto fisso.

Convergenza locale.

Metodo delle corde.

Criteri di arresto.

Ordine di convergenza, definizione e proprietà.

Ordine del metodo delle tangenti.

Ordine dei metodi delle corde e delle secanti.

Autovalori e autovettori

Definizione.

Somma e prodotto degli autovalori.

Proprietà degli autovalori.

Matrici simili e invarianza degli autovalori.

Matrici simili e condizioni per la diagonalizzabilità.

Matrici simmetriche e proprietà dei loro autovalori e autovettori.

Cerchi di Gerschgorin e teorema di Gerschgorin.

Definizione di predominanza diagonale, non singolarità delle matrici a predominanza diagonale.

Norme

Norme vettoriali.

Norme matriciali.

Compatibilità.

Sistemi di equazioni lineari

Il problema.

Condizionamento.

Sistemi lineari con matrice triangolare.

Metodo di Gauss (generalità).

Costo computazionale del metodo di Gauss.

Stabilità del metodo di Gauss.

Massimo pivot.

Calcolo del determinante.

Calcolo della matrice inversa.

Metodi iterativi per sistemi lineari (generalità).

Condizioni per la convergenza di metodi iterativi per sistemi lineari.

Velocità di convergenza.

Criterio di arresto.

Costo computazionale di un metodo iterativo.

Metodi iterativi di Jacobi e di Gauss-Seidel.

Predominanza diagonale e convergenza dei metodi iterativi di Jacobi e Gauss Seidel.

Approssimazione

Approssimazione di funzione e modello di approssimazione.

L’interpolazione polinomiale: esistenza e unicità del polinomio di interpolazione.

Il polinomio di interpolazione nella forma di Lagrange.

Resto dell’interpolazione e teorema del resto (enunciato).

Il resto dell’interpolazione nel caso di nodi equidistanti.

Formule di quadratura.

Formula dei trapezi.

Formula di Cavalieri-Simpson.