Matrici: Fattorizzazione LU

I metodi di fattorizzazione possono essere utilizzati per risolvere vari problemi di algebra lineare. Ecco degli esempi riferiti alla fattorizzazione A=LU:

• il determinante è $\det A=\det(LU)=\det L \cdot \det U$ e poiché L e U sono triangolari, e gli elementi diagonali di L sono tutti uno, otteniamo $\det A=\prod u_{ii}$;

• per risolvere un sistema lineare $A{\bf x}={\bf b}$ si moltiplica prima per L^-1 ottenendo $U{\bf x}=L^{-1}{\bf b}$, e poi per U^-1 ottenendo ${\bf x}=U^{-1}L^{-1}{\bf b}$. Ciascuna moltiplicazione (fatta con del codice apposito) costa solo n²/2operazioni: si tratta di una forward substitution seguita da una back substitution;

• se i sistemi linari sono più di uno abbiamo il problema AX=B, che può essere risolto analogamente al caso precedente;

• nel caso particolare in cui B=I otteniamo X=A^-1, cioè abbiamo calcolato l'inversa di A.