Equazioni differenziali

Vogliamo risolvere su [0,10] il problema

$$y''=y, \hspace{1cm} y(0)=1, \hspace{1cm} y'(0)=-1$$

la cui soluzione esatta è y(x)=e^-x. Osserviamo per prima cosa che se poniamo la condizione iniziale $y'(0) = -1+\delta$ (con $\delta$ piccolo), la soluzione esatta del problema diventerebbe

$$e^ {-x} + {\delta\over 2}(e^x - e^{-x}) = e^{-x}+\delta\sinh x$$

che è profondamente diversa dalla precedente (non tende neppure a 0 quando x va ad infinito). Questo mostra che il problema è molto sensibile ai dati iniziali, dunque è malcondizionato. Non possiamo aspettarci grandi risultati dall'algoritmo risolutivo che adesso viene esposto.

Per risolvere l'equazione numericamente, l'idea è di discretizzare l'intervallo: scelto un opportuno passo h, si utilizzano solo i valori che y assume nei punti x+ih (per $i=0,\ldots,10/h$. Poniamo dunque

y_i = y(x+ih).

Si pone il problema di approssimare l'operatore ``derivata seconda''. A tale scopo, utilizzando la formula di Taylor, si può ricavare che

$$y''(x) \approx { y(x+h)-2y(x)+y(x-h) \over h^2 }$$

da cui otteniamo

$$y''(x+ih) \approx { y_{i+1} -2 y_i +y_{i-1} \over h^2 }.$$

L'equazione iniziale si scrive allora

y_i+1 = (2+h²) y_i -y_i-1

e l'applicazione ripetuta di questa formula a partire da due valori iniziali y₀=1, y_-1=e^h dovrebbe permetterci di ricavare i valori successivi di y(x+ih).

L'implementazione (esemplificata in diffeq.c) mostra invece che questo sistema dà, dopo poche iterazioni, risultati addirittura negativi. In questo caso, come detto, è il problema ad essere fortemente malcondizionato. Esso va dunque trattato con metodi molto particolari.