Una matrice malcondizionata

Come ulteriore esempio di una matrice malcondizionate si riporta la seguente matrice M e la sua inversa M^-1 (l'esempio è di R. S. Wilson):

$$M= \left[ \matrix{ 10 & 7 & 8 & 7 \cr 7 & 5 & 6 & 5 \cr 8 &... ... & 10 \cr 10 & -17 & 5 & -3 \cr -6 & 10 & -3 & 2} \right] .$$

La matrice M è simmetrica e definita positiva. Gli autovalori minimi e massimi di M sono $\lambda_{\rm max}\approx 30$ e $\lambda_{\rm min}\approx 0.01$, da cui si ricava che il numero di condizionamento in norma 2 è $\mu_2(M)\approx 3000$. Questo significa che, risolvendo un sistema lineare la cui matrice dei coefficienti è M, una piccola variazione nei dati può provocare nella soluzione una variazione di 3000 volte superiore (operando in aritmetica esatta).

A titolo di esempio, si provi a risolvere numericamente il sistema

$$M{\bf x}= \left[ \matrix{32+ \varepsilon_1 \cr 23+ \varepsilon_2 \cr 33+ \varepsilon_3 \cr 31+ \varepsilon_4} \right]$$

dove per $\varepsilon_i=0$ la soluzione esatta è ${\bf x}= \left[ \matrix{1 & 1 & 1 & 1} \right] ^T$. Alternativamente, si possono perturbare i valori M_ij e verificare il comportamento della soluzione del sistema.

La fattorizzazione LU della matrice M è la seguente:

$$L= \left[ \matrix{ 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0.7 & 1 &0 &0 \cr 0.8... ....1& 0.4& 0.1 \cr 0 &0&2 &3 \cr 0 &0& 0 &0.5 \cr } \right] .$$

A titolo di confronto si riportano le matrici intermedie A^(k) ottenute applicando k passi dell'algoritmo di eliminazione di Gauss:

$$A^{(1)}=M, \hspace{0.5cm} A^{(2)} = \left[ \matrix{ 10.0 & 7.... ...r 0.0 & 0.0 & 3.0 & 5.0 } \right] ,\hspace{0.5cm} A^{(4)}=U.$$