Un altro algoritmo instabile

Vogliamo trovare i valori di

$$E_n = \int_0^1 x^n e^{x-1} dx$$

per $n=1,\ldots,10$. Utilizzando l'integrazione per parti otteniamo la relazione ricorrente

E_n = 1-n E_n-1

e supponendo noto E₁=1/e possiamo pensare di calcolare i successivi valori di E_n in base a questa formula. Si fa presto a verificare che i risultati sono disastrosi, dando addirittura valori negativi! L'algoritmo usato è instabile: infatti l'errore inerente presente in E₁ (dovuto al fatto che 1/e viene rappresentato come numero di macchina) viene moltiplicato per $2,3,4,\ldots$, cioè amplificato enormemente ad ogni passo.

Un modo curioso di ottenere, in questo caso, un algoritmo stabile è quello di eseguire le iterazioni all'indietro:

$$E_{n-1} = {1-E_n \over n}.$$

Per scegliere un valore iniziale, osserviamo che $E_n\rightarrow 0$ quando $n\rightarrow\infty$ (questo si può mostrare con metodi analitici). Allora poniamo E₂₀=0 e incrociamo le dita. Si verifica che la successione ottenuta risalendo all'indietro fino ad E₁ è molto precisa! Questo accade perché l'errore iniziale presente in E₂₀ viene via via diviso per $20, 19, \ldots$, diventando inferiore alla precisione di macchina.

Notare che questo è un possibile modo per calcolare il valore di e usando solo le quattro operazioni fondamentali.