Calcolo di $\pi$

Poiché $\pi$ è un numero costante, e di cui sono ormai note molte cifre, si può pensare di averlo già disponibile (in particolare si trova definito come M_PI in math.h). Tuttavia è interessante studiare dei metodi per calcolarlo, utilizzando esclusivamente le quattro operazioni fondamentali.

La prima approssimazione che si può dare per $\pi$ è semplicemente il rapporto $22/7=3.142\ldots$, ottenuto con una sola divisione tra numeri interi.

Nel sorgente C pigreco.c vengono mostrati diverse altre possibili soluzioni, con un calcolo accurato delle operazioni richieste da ciascuna.

Il metodo Montecarlo cerca di calcolare in modo probabilistico l'area di un cerchio. Vengono generati punti pseudocasuali dentro il quadrato $[0,1]\times [0,1]$, e si contano quanti di essi cadono dentro il cerchio di equazione $x^2+y^2 \leq 1$. Poiché l'area di questa parte di cerchio è $\pi/4$, e quella del quadrato è 1, il rapporto tra i numeri dentro il cerchio ed il totale di punti generati deve convergere (molto lentamente) a $\pi/4$.

Il metodo di Archimede, raffinato da Viete (1593), calcola i perimetri di poligoni regolari di 2ⁿ lati, inscritti o circoscritti ad un cerchio unitario. È possibile esprimere il perimetro di ciascuno come funzione elementare del perimetro del precedente, ottenendo così due successioni che convergono (una dal basso e una dall'alto) al valore $2\pi$.

Il metodo di Gregory (1671) sfrutta lo sviluppo in serie di Taylor dell'arcotangente, e l'indentità algebrica $\arctan 1 = \pi/4$. La convergenza non è ottima perché la serie di Taylor è calcolata con un argomento non piccolo.

Il metodo di Machin (1706) sfrutta anch'esso lo sviluppo in serie dell'arcotangente, ma l'indentità algebrica $4\arctan(1/5) -\arctan(1/239) = \pi/4$. La sua convergenza è migliore perché gli argomenti della serie di Taylor sono piccoli. Questo metodo, o sue varianti, è stato largamente usato fino agli anni Settanta.

Il metodo AGM dei fratelli Borwein (1987) sfrutta le medie aritmetiche e geometriche, e si ispira a tecniche elaborate dal matematico indiano Ramanujan nel 1914. Esso esprime $\pi$ come limite di una somma infinita (serie), in cui ciascun termine aggiunge 25 cifre esatte nel risultato.

I migliori di questi metodi riescono con poche operazioni elementari a dare circa 15 cifre esatte per $\pi$, e dall'aritmetica floating point non si può sperare di meglio. Utilizzando questi metodi con sistemi per lavorare con precisione arbitraria si possono ottenere valori di $\pi$ con migliaia o milioni di cifre. Vedere ad esempio il sito web www.spektracom.de/~arndt/joerg.html.

Un bel libro sul numero $\pi$, la sua storia e le sue apparizioni in molteplici campi del sapere umano, è The Joy of Pi. Esiste anche un sito internet, www.joyofpi.com che propone molte curiosità.