¿Escritura posicional de los números? Algo más.

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Aunque si ésta no fuese una interpretación histórica correcta, la idea que tuvo hace algunos años el ingeniero Nicolino De Pasquale, profesor de un instituto técnico de Pescara, al observar una yupana, es realmente interesante. Se trata en realidad de "extender" el concepto de notación posicional de los números.

Como es bien noto, una vez elegida una base de representación β, todo número natural n se puede escribir de la siguiente manera

n = ∑i αi βi

 

con 0 ≤ αi < β 1, donde los coeficientes αi son casi todos nulos.

 

Los números αi son generalmente representados con símbolos diversos e independientes unos de otros: en la notación decimal usual estos son las cifras 0,1,2,3,...,9. Pero la aritmética que subyace en la calculadora inca requiere en cambio que las cifras sean a su vez representadas en notación posicional, pero esta vez de un tipo diverso.

Cada cifra αi en realidad se escribe como

α i = ∑j aj fj        (1)

donde fj es un peso que viene asignado a la cifra aj, y por lo tanto no necesariamente es una potencia de una base fija. En este caso específico se trata de cuatro términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci:

f1 = 1; f2 =2; f3 =3; f4 =5;

y donde aj satisface la restricción

0 ≤ aj ≤ fj

Bajo estas condiciones, la fórmula (1) representa (aunque no en modo unívoco) todos los números comprendidos entre 1 y 39 y, desde un punto de vista concreto, permite la interpretación numérica de la figura que se forma posicionando granos de maíz en los espacios de la siguiente tabla.

 

ooooo ooo oo o

 

Por ejemplo, las siguientes dos tablas representan al número 4.

 

ooooo oo ●● o

 

ooooo oo oo

 

De esta manera se codifican las cifras αi . Para los primeros 39 números se trata entonces de una representación del tipo Fibagonacci (una extensión de la conocida representación de Fibonacci). El paso sucesivo para indicar un número natural cualquiera se efectua usando una escritura en base 40, y esto lleva a la forma bidimensional de la yupana esquematizada en la siguiente figura. La última columna fue agregada aquí para señalar el peso de la fila y el máximo número representable en cada compartimento (escrito entre paréntesis).

 

ooooo ooo oo 402(40000,14400,6400,1600)
ooooo ooo oo o 401(1000,360,160,40)
ooooo ooo oo o 400(25, 9, 4, 1)

 

El valor de cada grano está representado en la siguiente tabla

 

8000 4800 3200 1600
200 120 80 40
5 3 2 1

 

Se trata por lo tanto de una escritura donde la notación posicional habitual se desarrolla en altura y el cero es simplemente la ausencia de maíz en la fila. De todas maneras no hay ambigüedad en la interpretación, ya que la escritura se desarrolla desde la parte superior (posición de potencia mayor) hacia la parte inferior y no de izquierda a derecha, donde es necesario indicar explícitamente el cero.
Puede encontrar aquí una "ayuda" para familiarizarse con este sistema notacional.

Obviamente nada prohibe la representación de fracciones.

La simplicidad cognitiva del sistema es sorprendente y, como observa Maurizio Orlando, la precisión de 4015 que se obtiene con un abaco de 15 filas, como los representados en algunos jarrones andinos, consentía a los incas la respetable precisión de cerca 25 cifras decimales.

 

Veremos con algunos ejemplos los algoritmos que realizan las operaciones aritméticas con este genial instrumento.

En tanto observamos que probablemente los "salvajes" incas debían aprender una tabla pitagórica menos onerosa que la usada por el mundo "civil".

Traducción a cura de Hernán Melgratti, a quien agradezco.