Scrittura posizionale dei numeri? Di più.
Anche se non fosse una corretta interpretazione storica, l’idea venuta qualche anno fa all’ingegnere Nicolino De Pasquale professore di un istituto tecnico pescarese nell’osservare una yupana, è davvero interessante. Si tratta infatti di "estendere" il concetto di notazione posizionale dei numeri.
Come noto, scelta una base di rappresentazione ß, ogni numero naturale n si può scrivere nel modo seguente
n = ∑i αi ß i
con 0 ≤ αi < ß –1 dove gli αi sono quasi tutti nulli.
I numeri αi sono solitamente rappresentati con simboli diversi e indipendenti tra loro: nella notazione decimale usuale sono le cifre 0, 1, 2, 3, ... , 9. Ma l’aritmetica che sottende alla calcolatrice inca vuole invece che le cifre siano a loro volta rappresentate con una notazione posizionale e questa volta di tipo diverso.
Ogni cifra αi infatti si scrive come
α i = ∑j a j f j (1)
dove fj è un peso che viene assegnato alla cifra aj e dunque non è necessariamente potenza di una base fissata. Nel caso specifico si tratta di quattro termini consecutivi della successione di Fibonacci:
f1 = 1; f2 =2; f3 =3; f4 =5;
e il vincolo su aj è
0 ≤ aj ≤ fj
Nelle condizioni espresse, la formula (1) rappresenta (anche in modo non univoco) tutti i numeri da 1 a 39 e, da un punto di vista concreto, consente l’interpretazione numerica della figura che si forma posizionando granellini di mais sulla tavoletta della figura seguente negli appositi spazi.
| ooooo | ooo | oo | o |
Ecco ad esempio due rappresentazioni del numero 4.
| ooooo | oo | ●● | o |
| ooooo | oo● | oo | ● |
Si codificano in questo modo le cifre αi . Per i primi 39 numeri si tratta allora di una particolare rappresentazione di tipo Fibagonacci (estensioni della nota rappresentazione di Fibonacci). Ma il passaggio successivo, per indicare un qualunque numero naturale, si effettua usando una scrittura in base 40 e questo in concreto porta alla forma bidimensionale della yupana schematizzata nella figura seguente. L'ultima colonna è stata qui aggiunta per segnalare il peso della riga e (indicandoli tra parentesi) il massimo numero rappresentabile in ogni casella.
| ooooo | ooo | oo | ○ | 402(40000,14400,6400,1600) |
| ooooo | ooo | oo | o | 401(1000,360,160,40) |
| ooooo | ooo | oo | o | 400(25, 9, 4, 1) |
Il valore di ogni singolo granello è rappresentato nella tabella che segue
| 8000 | 4800 | 3200 | 1600 |
| 200 | 120 | 80 | 40 |
| 5 | 3 | 2 | 1 |
Si tratta dunque di una scrittura la cui notazione posizionale abituale si sviluppa in altezza e lo zero è semplicemente la mancanza di mais sulla riga. Comunque non nascono ambiguità di interpretazione in quanto la scrittura si sviluppa sui piani scanditi nella tavoletta dall’alto (posizione a potenza maggiore) verso il basso e non su un foglio da sinistra verso destra dove diventa necessario indicare esplicitamente lo zero.
Ecco qui piccolo aiuto per familiarizzare con questo sistema notazionale.
Ovviamente niente vieta di rappresentare le frazioni. Ed ecco anche un convertitore completo offerto da Marco Righi.
La semplicità cognitiva del sistema è stupefacente e, come osserva Maurizio Orlando, la precisione di 4015ottenuta con l’abaco a 15 righe raffigurato in alcuni vasi andini consentiva agli incas la rispettabile precisione di circa 25 cifre decimali.
Vedremo con esempi gli algoritmi che effettuano le operazioni aritmetiche con questo geniale strumento.
E intanto osserviamo che probabilmente i "selvaggi" scolari inca dovevano apprendere una tavola pitagorica meno onerosa di quella in uso nel mondo "civile"